什么是堆

堆是一种叫做完全二叉树的数据结构，可以分为大根堆，小根堆，而堆排序就是基于这种结构而产生的一种程序算法。

堆的分类

大根堆:每个节点的值都大于或者等于他的左右孩子节点的值

小根堆:每个结点的值都小于或等于其左孩子和右孩子结点的值

两种结构映射到数组为:

大根堆:

小根堆:

//父-->子:i--->左孩子:2*i+1, 右孩子:2*i+2;
//子-->父:i--->(i-1)*2; (i为下标元素)

排序思想

1.首先将待排序的数组构造成一个大根堆，此时，整个数组的最大值就是堆结构的顶端

2.将顶端的数与末尾的数交换，此时，末尾的数为最大值，剩余待排序数组个数为n-1

3.将剩余的n-1个数再构造成大根堆，再将顶端数与n-1位置的数交换，如此反复执行，便能得到有序数组

注意:升序用大根堆，降序就用小根堆(默认为升序)

构造堆

那么如何构造大根堆呢?

首先我们给定一个无序的序列，将其看做一个堆结构，一个没有规则的二叉树，将序列里的值按照从上往下，从左到右依次填充到二叉树中。

对于一个完全二叉树，在填满的情况下（非叶子节点都有两个子节点），每一层的元素个数是上一层的二倍，根节点数量是1，所以最后一层的节点数量，一定是之前所有层节点总数+1，所以，我们能找到最后一层的第一个节点的索引，即节点总数/2（根节点索引为0），这也就是第一个叶子节点，所以第一个非叶子节点的索引就是第一个叶子结点的索引-1。那么对于填不满的二叉树呢？这个计算方式仍然适用，当我们从上往下，从左往右填充二叉树的过程中，第一个叶子节点，一定是序列长度/2，所以第最后一个非叶子节点的索引就是 arr.len / 2 -1，对于此图数组长度为5，最后一个非叶子节点为5/2-1=1，即为6这个节点

那么如何构建呢？ 我们找到了最后一个非叶子节点，即元素值为6的节点，比较它的左右节点中最大的一个的值，是否比他大，如果大就交换位置。

在这里5小于6,而9大于6，则交换6和9的位置
找到下一个非叶子节点4，用它和它的左右子节点进行比较，4大于3，而4小于9，交换4和9位置

此时发现4小于5和6这两个子节点，我们需要进行调整，左右节点5和6中，6大于5且6大于父节点4，因此交换4和6的位置
此时我们就构造出来一个大根堆,下来进行排序

首先将顶点元素9与末尾元素4交换位置，此时末尾数字为最大值。排除已经确定的最大元素，将剩下元素重新构建大根堆

一次交换重构如图:
此时元素9已经有序，末尾元素则为4(每调整一次，调整后的尾部元素在下次调整重构时都不能动)

二次交换重构如图:

最终排序结果:
由此，我们可以归纳出堆排序算法的步骤：

1. 把无序数组构建成二叉堆。

2. 循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶。

当我们删除一个最大堆的堆顶（并不是完全删除，而是替换到最后面），经过自我调节，第二大的元素就会被交换上来，成为最大堆的新堆顶。

正如上图所示，当我们删除值为9的堆顶节点，经过调节，值为6的新节点就会顶替上来；当我们删除值为6的堆顶节点，经过调节，值为5的新节点就会顶替上来.......

由于二叉堆的这个特性，我们每一次删除旧堆顶，调整后的新堆顶都是大小仅次于旧堆顶的节点。那么我们只要反复删除堆顶，反复调节二叉堆，所得到的集合就成为了一个有序集合，

堆排序是不稳定的排序，空间复杂度为O(1),平均的时间复杂度为O(nlogn),最坏情况下也稳定在O(nlogn)

代码示例:

void HeapAdjust(int* arr, int start, int end)
{
	int tmp = arr[start];
	for (int i = 2 * start + 1; i <= end; i = i * 2 + 1)
	{
		if (i < end&& arr[i] < arr[i + 1])//有右孩子并且左孩子小于右孩子
		{
			i++;
		}//i一定是左右孩子的最大值
		if (arr[i] > tmp)
		{
			arr[start] = arr[i];
			start = i;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
	arr[start] = tmp;
}
void HeapSort(int* arr, int len)
{
	//第一次建立大根堆，从后往前依次调整
	for(int i=(len-1-1)/2;i>=0;i--)
	{
		HeapAdjust(arr, i, len - 1);
	}
	//每次将根和待排序的最后一次交换，然后在调整
	int tmp;
	for (int i = 0; i < len - 1; i++)
	{
		tmp = arr[0];
		arr[0] = arr[len - 1-i];
		arr[len - 1 - i] = tmp;
		HeapAdjust(arr, 0, len - 1-i- 1);
	}
}
int main()
{
	int arr[] = { 9,5,6,3,5,3,1,0,96,66 };
	HeapSort(arr, sizeof(arr) / sizeof(arr[0]));
	printf("排序后为:");
	for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	return 0;
}

排序结果: